[Deydre]

Граничні задачі для рівнянь еліптичного типу

1. Задача Діріхле або Перша крайова задача:

Знайти функцію U(x, y, z), яка є гармонічною (тобто, задовільняє рівняння Лапласа ∆U=0) всередині деякої області V і яка є неперервною в області V+S, де S - поверхня, яка обмежує область V, і яка на межі цієї області, тобто на поверхні S, приймає конкретне, наперед задане значення.

Іншими словами: знайти розв'язок рівняння Лапласа ∆U=0 всередині V, якщо U|s=f(x, y, z).



2. Задача Неймана або Друга крайова задача:

Знайти гармонічну функцію (∆U=0) всередині області V, неперервну в області V+S, нормальна похідна від якой на межі цієї області (на поверхні S) приймає конкретне, наперед задане значення.

Іншими словами: знайти розв'язок рівняння Лапласа ∆U=0 всередині V, якщо ∂V/∂n|s=f1(x, y, z).



3. Змішана задача:

Знайти розв'язок рівняння Лапласа всередині області V, якщо на межі цієї області (на поверхні S) задана лінійна комбінація шуканої функції та її нормальної похідної (U + ∂V/∂n)|s = f3(x, y, z).

Розв'язате отримане трансцедентне рівняння.